Page 66 - ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ А. X. МИРЗАДЖАНЗАДE

Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче

В (4.7) F обозначает непрерывную и непрерывно дифференцируемую функцию от
своих пяти аргументов. Для доказательства теоремы существования применим метод по-
следовательных приближений. Положим:

; ; ;

; (4.8)

С помощью коэффициентов (4.8) образуем линейное неоднородное дифференциаль-
ное уравнение эллиптического типа:
(4.9)
Предполагаем, что существуют решения (х, у) (4.9), принимающие на стенках трубы
нулевое значение и на границе

С помощью (х, у) определяем коэффициенты:

; ;

; (4.10)

Ищем решение дифференциального уравнения

принимающее на стенках трубы нулевое значение, а на границе

Полагая , таким образом, с помощью определяем коэффициенты
, , , , и находим решение уравнения

принимающее на стенках трубы нулевое значение, а на границе

Полагая , снова повторяется процесс, который затем продолжается не-
ограниченное число раз. Путем выбора достаточно малой по площади области движения
можно добиться того, чтобы при неограниченном продолжении этого процесса всегда по-
лучались разрешимые линейные краевые задачи, и чтобы последовательность функций
сходилась к предельной функции удовлетворяющей уравнению (4.7) и принимающей на
стенках трубы нулевое значение, а на границе Г 1, нормальная производная принимала бы
нулевое значение.

— 65 —