Page 40 - ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ А. X. МИРЗАДЖАНЗАДE

Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче

Поверхностная сила, отнесенная к единице поверхности, называется напряжением.
Обозначим напряжение на площадках, перпендикулярных осям х, у, z, соответственно
через , , . Проекции на оси х, у, z соответственно обозначим через , , , т. е.

Аналогично

Напряжения , , представляет собою нормальные напряжения, остальные же
являются касательными напряжениями.
Вектор напряжения на произвольно ориентированной площадке с нормалью п
опреде ляется формулами Коши:

В векторной форме эти формулы могут быть записаны так
(2.2)
Свойство, выражаемое формулой (2.2), показывает, что совокупность векторов , по-
лучаемая при всевозможных ориентировках площадок, образует тензор (§ 2.1 данной гла-
вы), называемый тензором напряжения (матрица напряжения):

.

В каждой точке жидкости существуют такие три взаимно перпендикулярные пло-
щадки, на которых касательные напряжения равны нулю; направления нормалей к этим
площадкам образуют главные оси тензора напряжений и не зависят от исходной системы
координат х, у, z. Таким образом, любое напряженное состояние в рассматриваемой точке
может быть вызвано растяжением окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных
направлениях.
Соответствующие нормальные напряжения называются главными нормальными на-
пряжениями.
Касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке ин-
дексами равны друг другу. Это следует из равенства моментов относительно произвольной
оси при равновесии тела. Так, например, составив моменты относительно оси z, получим:
,
откуда найдем, что
.
Аналогично мы увидим, что
и .
Следовательно, тензор напряжения является симметричным тензором.

— 39 —